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제목   2008학년도 논술고사 분석 이화여대 자연계 수시 2 논술
작성자   김종선


2008학년도 논술고사 분석 이화여대 자연계 수시 2 논술
 
[문제5] 인쇄비용 최소화 위한 고액권 종류 선택방법

현재 우리나라 지폐는 1천원권, 5천원권, 1만원권으로 구성돼 있다. 사람들은 같은 금액인 경우, 가능하면 적은 액수의 지폐를 소지하고자 한다. 예를 들어 1만 6천원의 경우 1천원권 16장보다는 1만원권 1장과 5천원권 1장, 1천원권 1장으로 총 3장의 지폐를 소지하고자 한다. 한국은행이 지폐 인쇄 비용을 최소화하는 방법은 사람들이 소지하고자 하는 총 장수에 비례해 각 지폐를 공급하는 것이다. (단, 이 문제에서 동전 사용은 없고 권종별 인쇄 비용은 동일한 것으로 가정한다. - 15점)

(1) 사람들이 소지하는 금액 중 1만원 단위 미만인 0원, 1천원, 2천원, …, 9천원 등 10가지 경우가 모두 균일한 분포를 이룬다고 가정하자. 한국은행이 지폐 인쇄비용을 최소화하기 위해 1천원권과 5천원권을 어떤 비율로 공급해야 하는지 설명하시오.

(2) 사람들이 소지하는 금액이 증가함에 따라, 기존 1만원권에 추가하여 5만원권 또는 10만원권 중 1종의 고액권 발행을 검토하고 있다. 사람들이 소지하는 금액에 따라 새로 발행할 고액권 종류의 선택 방법을 지폐 인쇄비용 최소화의 관점에서 논하시오.

2008 이화여대 [자연계] 수시 2 논술고사 해설

[출제의도]

경제 규모가 커지고 지폐소지 금액이 높아짐에 따라 우리 사회에서는 신규 고액권을 발행하기로 했다. 이화여대에서는 실제 우리 경제분야에서 진행되고 있는 고액권 발행을 설정해 수험생들의 수리적 논리성을 측정하고자 했다. 이 문제는 복잡한 수학적 지식이 요구되지 않고 가상 상황을 추론할 수 있는 명확한 수리적, 논리적 사고 능력이 요구된다.

[정답 및 해설]

문제 5-(1)은 중학교 2학년 통계, 수학Ⅰ의 통계 과정의 기대값과 평균에 관한 문제로, 한 사람이 소지하는 1만원 단위 미만의 금액은 각 금액별로 그들이 소지하고자 하는 1천원권과 5천원권의 장 수는 다음과 같고, 문제의 전제에서 10가지 경우가 모두 균일한 분포를 이룬다고 했으므로 그 확률은 모두 0.1임을 이용해 확률분포표(표1)를 작성하고, 1천원권의 기대값과 5천원권의 기대값을 구해 그 비값을 도출해 내면 된다.

먼저 한 사람에게 필요한 1천원권 수의 기대값은 (0+4+2+2+4)×0.1×2=2(장)이고, 5천원권 수의 기대값은 5×0.1= 0.5(장)이다.

전체 인구에 필요한 1천원권과 5천원권 수의 기대값의 비는 2:0.5=4:1이므로 인쇄비용을 최소화하기 위해서는 1천원과 5천원권을 4:1의 비율로 공급해야 한다.

문제 5-(2)는 사람들이 소지하는 금액 중 1만원 미만에 대해서는 지폐 발행 상황이 어느 경우나 같으므로 1만원 단위로만 생각하면 된다. 사람들이 소지하는 금액을 C만원(C는 0 또는 자연수)이라 하자.

(1) 10k만원≤C〈10k+5만원 (단, k는 0 또는 자연수) 일 때,

① 5만원권을 발행한다면 필요한 5만원권의 수는 2k장이고 나머지 C-10k만원은 모두 1만원권으로 소지해야 한다.

② 10만원권을 발행한다면 필요한 10만원권의 수는 k장이고 나머지 C-10k만원은 모두 1만원권으로 소지해야 한다. 즉, 1만원권은 C-10k장 발행해야 한다.

①, ② 경우에 지폐 수의 차는 10만원권과 5만원권의 장수 차, 즉 k장이므로 k=0일 때를 제외하고는 10만원권을 발행해야 한다. k=0일 때는 소지금액이 5만원 미만이므로 어느 것도 발행할 필요가 없다.

(2) 10k+5만원≤C〈10k+10만원 (단, k는 0 또는 자연수)일 때,

① 5만원권을 발행한다면 필요한 5만원권의 수는 2k+1장이고 나머지 C-(10k+5)=(C-10k-5)만원은 모두 1만원권으로 소지해야 한다. 이 경우 필요한 1만원권 이상의 지폐 수는 (C-10k-5)+(2k+1)=C-8k-4장이다.

② 10만원권을 발행한다면 필요한 10만원권의 수는 k장이고 나머지 C-10k만원은 모두 1만원권으로 소지해야 한다. 이 경우 필요한 1만원권 이상의 지폐 수는 10만원권 k장과 1만원권 C-10k장의 합, C-9k장이다.

①, ② 경우 지폐 수의 차는 C-8k-4와 C-9k의 차와 같으므로, (C-8k-4)-(C-9k)=k-4이다.

따라서 k=0, 1, 2, 3일 때는 5만원권을 발행하고 k=4일 때는 5만원권, 10만원권 어느 것을 발행해도 같고, k≥5이면 10만원권을 발행해야 한다.

(1), (2)의 경우를 종합하면 사람들이 소지한 금액 중 10만원 단위 미만의 금액이 있으면 어느 경우나 5만원권을 발행하는 것이 좋다. 이때 특히 10만원 단위 미만의 금액이 5만원 이상인 경우에는 소지한 총 금액이 40만원 미만일 때 5만원권을, 40만원 이상 50만원 미만인 경우에는 10만원권과 5만원권을 모두 발행해도 된다. 그리고 소지한 총 금액이 50만원 이상이면 10만원권을 발행해야 한다.


[문제 6] 시간 경과에 따른 식중독 유발 가능성 논하기



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